空间点过程与随机测度（二）：测度的故事

既然这个Topic的题目是关于随机测度，那么，自然是离不开“测度”(measure)这个概念的。所以在这篇文章里，我们要说一说测度。也许，在很多朋友的眼中，“测度”是一个特别理论的概念——似乎只有研究数学的人才应该关心它。这也许和大学的课程设计有关系，因为这个概念一般是在研究生的数学课程才会开始讲授，比如“实分析”或者“现代概率理论”。而且，在大多数教科书里面，它的第一次出场就已经带着厚厚的面纱——在我看过的大部分教材里面，它总是定义在sigma代数之上，而sigma代数听上去似乎是一个很玄乎的名词。

测度，其实很简单

在这里，我只是想拨开测度的神秘面纱——其实，测度是一个非常简单的事情：理解它，只需要小学生的知识，而不是研究生。

还是回到我们数星星的例子。

在这个例子里面，我们定义了一“数星星”函数，用符号N表示。这个函数的输入是一个集合（比如A和B），输出是一个数字——该集合中所包含的“星星”的数目。我们看看，这个函数有什么特点。首先，它是非负的，也就是说不可能在一个区域中含有“负数”个星星。其次，它有“可加性”。这是什么意思呢？

比如说，在上面两个不相交的区域A和B里面，各自包含了5个和44个点。那么在A和B的并集总共包含了49个点。换言之，N(A U B) = N(A) + N(B)。

严格一点的说，如果一个“集合函数”，或者说一个从集合到非负实数的映射，如果它在有限个不相交集合的并集上取的值，等于它在这些集合上分别取的值的和，那么我们就认为这个函数具有“可加性”。更进一步的，如果它在可数无限个不相交集合的并集上符合这样的可加性，那么我们就说，它是“可数可加”(Countably additive)。

一个非负“集合函数”，如果对空集取值为0，并且在“一系列集合上”具有可列可加性，那么这个“集合函数”就叫做一个“测度”(Measure)。作为例子，上面的“数星星”函数就是定义在所有二维空间子集上的一个测度。同样的，我们可以举出，很多具体的“测度”的例子，比如：

1. 各个区域内的所有星星的总质量
2. 各个区域的面积大小

不可测集和分球悖论

不过，在某些条件下，测度并不能定义在全部子集上。说通俗点，就是对其中一些集合，我们不可能定义出它的测度。比如说，在二维平面，我们可以按照一般的理解定义面积函数，比如长和宽分别为a和b的长方形面积为ab。对于复杂一点的形状，我们可以通过积分来计算面积。但是，是不是所有的二维平面的子集都存在一个“面积”呢？正确的答案显得有点“违背常识”：在承认选择公理(Axiom of Choice)正确的情况下，确实有一些集合没法定义出面积。或者说，无论我们在这些集合上定义面积为多少，都会导致自相矛盾的结果。

这里要注意的是，“没法定义面积”和“面积为零”是两回事。比如，在二维集合上的单个离散点或者直线，面积都是零。而那些“没法定义面积”的子集——我们称之为“不可测集”都是一些非常非常奇怪的集合——对于这些集合，我们把它的面积定义为零，或者别的什么非零的数，都会导致自相矛盾。这样的集合是数学家们用特殊的巧妙方法构造出来的——在实际生活中大家是肯定不会碰到的。这样的构造并不困难，但是很巧妙。有兴趣的朋友可以在几乎每本讲测度论的教科书中找到这种构造，这里就不详细说了。

（注：上图不是我制作的，而是出自http://www.daviddarling.info/）

关于不可测 集，有一个很著名的“悖论”，叫做“巴拿赫-塔斯基分球悖论”(Banach-Tarski Paradox)。如果说，某些奇怪的集合不能定义出面积还能让很多人勉强接受的话，那么“塔斯基分球”可能会让很多人“简直无法接受”——包括在上世纪二三十年代的很多著名数学家。这个“怪论”是这么说的：

我们可以把一个三维的半径为1的实心球用某种巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋转平移后可以和另外一份重合——然后把这五个分块旋转平移后，可以组合成两个半径为1的实心球。简单的说，一个球分割重组后变成了两个同样大小的球！

当然了，这样的过程还可以继续下去，两个变四个，四个变八个。。。。。。有人说，这显然不正确吧，然后他这么Argue：

如果一个实心球体积为V（因为球的半径是1，所以V > 0），那么五个等分块，每块体积为V/5，平移旋转不改变体积，所以，无论它们如何组合，最后得到的东西总体积是V，而不可能是2V。

但是，这样的说法在传统意义下确实没错——你拿去中学老师那里，肯定会被称赞是一个善于思考的好孩子。但是，我在更广义的条件下考察，就有问题了。因为，这个论述是基于这么一个假设：每一个分块都是有“体积”的。而塔斯基分球的精妙之处就在于它把球分成了五个“不可测集”——也就是五个“无法定义体积”的奇怪分块。所以，这里我们说“五等分”只是说它们其中一块平移旋转后能重合到另一块上，并不是说它们“体积相等”——因为根本就没有体积，也就没有相等之说。

这个分球术可以通过抽象代数里面对于自由群的分解来实现。对于塔斯基分球有兴趣的朋友，可以参考Leonard M. Wapner的数学读本The Pea and the sun: a mathematical paradox。

细心的朋友可能注意到了，不可测集的构造也好，塔斯基分球也好，都是基于对“选择公理”(Axiom of Choice)的承认。如果我们不承认它，不就没事了么？在我们拒绝承认“选择公理”之前，我们首先要知道“选择公理”究竟是什么东西。通俗一点的说，选择公理可以这么描述：

任意一组（可能有不可数无限个）非空集合，我们都可以从每个集合挑出一个元素。

看上去非常“无辜”啊——这不就是典型的“正确的废话”么——所以它被叫做“公理”。可是就是这么一个公理，却是魔力惊人，能让我们把实心球一个变俩。这就是数学的魅力！

在历史上，巴拿赫和塔斯基提出分球悖论的年代，正是数学家们对选择公理的存废进行激烈争论的年代。数学家们分成两派，一派支持“选择公理”，另外一派则反对它。而巴拿赫和塔斯基这两位数学天才在当时原是反对接受选择公理，所以它们煞费苦心找到这个分球方法，目的就是以这种令人难以接受的“荒谬现象”来否定选择公理。而在后来的发展中，大部分数学家还是认识到选择公理对于现代数学发展的重要意义（比如，泛函分析中的核心定理——Hahn Banach延拓定理就依赖于对选择公理的承认），而选择接受它，当然塔斯基分球这种“怪现象”也被接受了。现在，“巴拿赫-塔斯基分球悖论”又被称为“巴拿赫-塔斯基分球定理”——从悖论变成定理了。

数学就是这样一个奇妙的世界。它往往基于我们的生活常识建立起来，但是一旦建立起来就要遵循它本身的发展规律，哪怕它有时候违反“常识”——人们能直观认知的常识是有限的，而数学的威力能把我们带到常识所不能触及的地方。

测度与集合的代数结构

测度和集合的运算是密切相关的。根据测度的定义，如果A和B是两个不相交的集合，如果A和B的测度被确定之后，它们的并集的测度也就确定了，就等于它们各自测度的和。如果B是A的子集，那么如果它们的测度测定，那么它们的差集A – B的测度也就确定了，等于A和B的测度的差。所以，当我们要定义一个测度的时候，其实往往不需要对所有的集合都作出定义，只要对一部分集合定义好了，其它集合的测度也就确定了。

我们说了不相交集合的并集，以及差集，那么对于一般的并集呢？如果A和B是两个可能相交的集合。那么它们的并集A U B可以分成三个不相交的部分：A – C, B – C，以及C三个部分，这里C是A和B的交集。只要知道交集C的测度，根据不相交并集和差集的测度公式，我们就可以知道A – C, B – C，以及A U B的测度。可是仅仅知道 A 和 B的测度，它们的交集的测度是显然不能确定的——两个即使是同样大小的集合，可能相交很多，甚至重合，也可能不相交。

所以，要有效定义一个测度，我们首先需要确定它在一系列集合以及它们的所有交集上的值。这样，这些集合的所有并集和差集的测度也就给定了。数学家把这种观察归纳成一种代数结构——集合上的Semiring——注意这和抽象代数里面的semiring不是一回事。S是一组集合，如果S中任意两个集合的交集仍在S内，S中任何两个集合的差集都可以表示为S中其它有限个不相交集合的并集，那么S就叫一个semiring。那么，只要对S中的集合定义好测度，那么由这些集合的可数次交集并集差集运算产生的那些集合的测度也就确定了。

一组集合，如果包含空集，并且对可数次交集并集补集运算是封闭的，那么这组集合其实就是一个Sigma代数。从某种意义上说，如果我们确定了一个覆盖全集的semiring上的测度，那么整个sigma代数中所有集合的测度都确定了。这可以和线性空间做一个不太严格的类比。在线性代数里面，对于一个线性函数，如果它在基上的函数值确定了，那么它在整个线性空间的函数值也就确定了。对于测度，semiring好比是“基”，而sigma代数则好比是整个空间。

数星星的数学还在继续：随机测度

回到数星星的过程。上面我们讨论过了，数星星其实就是一个测度。可是，每天晚上我们看到的星星分布都在变化的。也就是说，每数一次星星，就会得到一个不同的测度。这和掷骰子有点像。每掷一次骰子，我们的得到一个不同的点数——这个点数可以被看成是一个随机变量，变量的值是1到6的整数。同样的道理，星星的分布不确定，每数一次得到一个不同的测度——这也可以看成是一个“随机变量”，只是这里变量的值是一个测度，而不是一个数字。这样的一种以测度为值的“随机变量”，叫做“随机测度”(Random Measure)。这是在接下来的文章中要继续讲述的故事。